ニート歴10年からの数学日記

2008年〜2009年の高一の冬休みから無職。最長で4ヶ月ほどの中断アリ。

ジュニア算数オリンピック　二次元上のユークリッド幾何の問題　その９

【随時更新】ユークリッド幾何学の定理や作図まとめ - ニート歴10年からの数学日記 を機械的に適用して、解答に至れるかを探る。分かりやすくするために、段階に分けて名前を付けることにした。その段階という区切りで繰り返したりするんで。
　

　

04年度ファイナル問題　問題6

『角ABCが＝角BCA×2で、辺BC、辺CA、辺ABの長さがそれぞれa、b、cの三角形ABCがあります。いま辺BC上に角BAD＝角CADとなる点Dをとり、AD＝dとするとき、BDの長さを求める式として正しいものを（ア）〜（カ）の中から1つだけ選んで答えなさい。ただし、角Aは72度ではないものとします。
（ア）a - b　（イ）b - c　（ウ）c - a　（エ）a - d　（オ）b - d　（カ）c - d』

セットアップ

手元に図を描いて、点は全て名付けられているので、まず点に着目して三角形を探す。

着目した点。繋がっている点。　見つけた三角形。
A。B、C、D。　ABC、ABD、ACD。
B。C、D。


見つけた三角形を角や辺と共に記述する。

triangle := [
　ABC : [BAC, AB, ABD, BC, ACD, AC],
　ABD : [BAD, AB, ABD, BD, ADB, AD],
　ACD : [CAD, AC, ACD, CD, ADC, AD]
]


問題文から定義を取得する。

角の大きさ。
ABD = ACD * 2。
BAD = CAD。
（BAC ≠ 72。）　最後の答えの段階で、弾く時に使おうかな


対頂角も平行線も無し。


（辺や）角の大きさを記述する。ABCだとかは最小の角のABDだとかに統一する。

angle := [
　0 : [ABD, ACD * 2],
　1 : [BAD, CAD]
]


最後に、三角形と角のイコールを統合する。

triangle := [
　ABC : [BAC, AB, ABD[0], BC, ACD, AC],
　ABD : [BAD[1], AB, ABD[0], BD, ADB, AD],
　ACD : [CAD[1], AC, ACD, CD, ADC, AD]
]

三角形定理ループ

以下の定理を上から調べていく。もし何か見つかったら、即座にその定理は上からやり直し、更にその定理が終わった後に三角形定理ループも上からやり直す。angleやtriangleは手元で更新する。

  • 1つの三角形の2角が同じなら、共有しない2辺は同じ。
  • 1つの三角形の2辺が同じなら、共有しない2角は同じ。
  • 2つの三角形の2角が同じなら、残りの1角も同じ。更に対応する1辺が同じなら、残りの2辺も同じ。
  • 2つの三角形の2辺とその間の角が同じなら、三角形は同じ。
  • 2つの三角形の3辺が同じなら、三角形は同じ。


1つの三角形の2角。何も見つからない。


1つの三角形の2辺。何も見つからない。


2つの三角形の2角、更には対応する1辺。何も見つからない。


2つの三角形の2辺とその間の角。何も見つからない。


2つの三角形の3辺。何も見つからない。

角の和、問題文

三角形定理ループが終わったので、角の和を調べる。


点に着目して、まずは普通の角の和を調べる。

着目した点。　角の和。
A。　[1]BAD + [1]CAD = BAC。
D。　ADB + ADC = 180。
その他。　ACD + ACD = [0]ABD。


次に三角形に着目して、外角を調べる。

着目した三角形。　角の和。
ABD。　[1]BAD + [0]ABD = ADC。
ACD。　[1]CAD + ACD = ADB。


統合するとこうなる。

[1] + [1] = BAC
ADB + ADC = 180
ACD + ACD = [0]

[1] + [0] = ADC
[1] + ACD = ADB


式の2つが同じであれば、残りの1つも同じ。まず答えが同じで他2つの一方が同じものを探す。それから答え以外が同じものを探す。
見つからない。


次に、問題文で求められている答えを確認する。

BD = BC - AC
BD = AC - AB
BD = AB - BC
BD = BC - AD
BD = AC - AD
BD = AB - AD

のどれか、ということ。しかし、まだ辺の長さは何も明らかになっていない。

作図

いよいよ作図の段階に入る。とりあえず以下の4種類を考える。更にはその下の4種類のポイントも含めて、一石二鳥になるものを探す。まず1手でそういうものを探して、無ければ2手でそうなるものを探す、それも無ければ3手、という風に増やしていく。

  • 点と点を結んで線にする
  • 点と点の距離の分だけ線を延長
  • 2点と、その間の垂直線とどこか1辺の交点による、二等辺三角形の作図
  • 同じ三角形を（同じ長さの辺の所に）作図
  • 角を合計180度にして線
  • 正三角形
  • 正四角形
  • 正五角形


まず、点と辺を一覧にしておく（三角形はもう一覧にされている）。

点一覧。
A、B、C、D。

辺一覧。
AB、AC、AD、BC、BD、CD。


また完全に新しい領域なので、主に自然言語（日本語や英語）でやっていこうと思っている。また失敗するだろうから、毎回、ここまではコピペしてしまう。


一番上の作図から検討する。まず点と点はもう全て結ばれている。


次に、辺の延長。
AB、AC、AD、BCはもちろん、BDとCDも、それぞれ両端への2通りの延長を考えたいと思う。BDとCDは、辺上に点を追加するようなイメージだ。つまり6 * 2 = 12通りの作図ということになる。

例えばBDを延長して、CD上にEを追加すると考える。
追加した後には、セットアップをもう一度辿る必要があるのではないか。

  • その点の追加により、新しく三角形は生まれるか。
  • 作図の種類によっては、定義を反映させる。
  • 新しく対頂角は生まれるか。
  • 新しく平行線は生まれるか。


まず、点Eの追加によって、新しく三角形は生まれない。


次に定義を反映させる。

side := [
　[BD, DE]
]


新しく対頂角は生まれない。


新しく平行線は生まれない。


これで全部だが。しかし、考えてみれば、角が合計で180°になっているかは「角の和」の段階で調べなければいけないし、いやそうでも無いか。その追加により、変化した所だけを調べれば良いか？一石二鳥が具体的にどういうものなのかを明らかにしなければ、どうにも。（休憩）


一石二鳥ということだけは分かっているが、それが具体的にどういう風かはまだ分からない。しかし、作図の4種類は、作図してみて結果が被ったものを調べるだけで良いのではないか。
問題は後半のポイントの4つで、あの4つは、角から図形まで、線の作図で無ければ生まれない。作図した線によって、180°の角は生まれているか、正三角形は生まれているか、正四角形は生まれているか、正五角形は生まれているか、を見ていく。

つまり、辺BDを延長して？CD上に点Eを作図した場合、新しく角は生まれていないし、まただから正三角形や正四角形や正五角形も生まれていない、ということになるのではないか。


辺ABから12通り考えてみる。
辺ABをどちらに延長しても、新しく角は生まれていて、また新しく生まれた角で、当たり前だが180°になっていたりする。新しく追加した点と、点Aの両方ともに結び付いている点は無い。だから正三角形も正四角形も正五角形も発生していない。

ACも、BCも同じ。


ADを辺BC側に延長すると、180°が3つ生まれる。しかし新しいEとのDEで、（DとEの両方に結びつく点は無いので）新しい図形は生まれない。
ADを点A側に延長すると、180°が2つ生まれる。図形が生まれないのは同じ。


BDを外側に延長すると、新しい角と180°が生まれる。図形は生まれない。内側に延長すると、何も生まれない。

CDはどちらに延長しても、新しい角と180°が生まれる。図形は生まれない。


これが何になるんだろう？次は辺を二等分する垂直線と他の辺の交点による、二等辺三角形の作図をやる。休憩。
　


6種類の辺ごとに二等分線を考えて、他の辺と交わるものを考えれば良い。

ABから考えると、って、交わる線ってどうやって考えれば良いのだろう？


正直よく分からないけど、底辺の角度かな？ちょうど頂点と交わる時に、底辺の角度がそれぞれ半々だとして、辺が長くなった方が角度は浅くなるのではないか。つまり、三角形であれば、浅い方と交わるのではないか。

つまり三角形ABDの範囲であれば、角ABDと角BADを比較して、より浅い方の辺と交わるはず。
三角形ABCの範囲でも、ABDとBACで、より浅い方と交わる。


いや、角度は分からないかもしれない。もっと普遍的に、辺と辺で交わるかどうかを考えるべきなのではないか。辺と辺は、延長していけばどこかでは必ず交わる。問題は、接近していくか離れていくか、あるいは範囲で考えれば良いのか？
次はそれを考えよう。休憩。


犬の散歩をしながら考えたのだが、これは結構大きい問題かもしれない。
そもそも、点と点を結ぶのが難しい。つまり、お互いにとって、どの方向と距離にあるのかが明らかでは無い。例えば点が独立している場合、その点はどこにあっても良いということになってしまう。ある方向と距離までの辺が連なっている場合は、確かに点は1通りに定まるかもしれない。角度は多角形ということで分かると思うが、まあでもそれなら距離は不定、点XからYだと「XY : Y」（メモ参照）ってことでも良いのか？

線と線がどこで交わるのか、線と円がどこで交わるのか、円と円がどこで交わるのか。これらも全然明らかでは無い。

自分の基礎付けで考えるから駄目なのかな。普通に手元のノート（や想像）で、その通り数だけ作図してみて、一石二鳥になっているか考えるだけでも良いのか？もちろんそれも別路線であっても良いわけだが。後から統合すれば良いだけで。

ちょっと今日はここで切ってみよう。どうしても思いつかなければ、自然言語でその別路線をやる。それで流れを確立するのも一つの研究ではある。その確立した流れと、今までの定理ループで往復すれば良い。