ジュニア算数オリンピックその後の新しい種類の問題 その８
グラフや幾何学の問題や、記述に関するメタ的な問題以外の今までに無い種類の問題について考察する。
【随時更新】解答に必要な機能まとめ - ニート歴10年からの数学日記と【随時更新】計算量の減らし方まとめ - ニート歴10年からの数学日記を使う、必要になり次第付け加えていく。
サンプルを増やすことに注力したい。
08年度ファイナル問題 問題4
『図のように、1~10が1つずつ書かれている10個の荷物がななめにならんでいます。次の操作をくり返して荷物をならびかえたいと思います。
（図） 斜めの坂になっていてこっちが下 8 6 2 5 10 1 3 7 9 4 こっちが上
操作：1回につき1個またはとなり合った2個か3個の荷物を取り出す。それと同時に取り出した荷物より右上にあった荷物がすべり落ちる。
取り出した荷物をその順番のままに一番右上に置く。
たとえば10、1を取り出したら操作後の順番は8、6、2、5、3、7、9、4、10、1に変わります。
この操作を5回行って、左下から小さい順に1、2、3、4、5…10とならべることが可能ですか。可能ならばその操作手順を、不可能ならばその理由を答えなさい。』
1個の操作が9通り、2個の操作が8通り、3個の操作が7通り、合計24通りが1ステップであり、それを5ステップ、というのが単純な集合やフローの量になるだろう。
答えを見ると、できるだけ数をまとめるという方針で5 10 1を動かせば、後は手なりということらしい。
答えを見る前は、1を動かさずそれ以下を動かして何とかしようとしていた。
分類が難しい問題だと思う。
08年度ファイナル問題 問題6
『博之くんと太郎くんが数当てゲームをしています。
まず、博之くんが各けたの数字がすべてことなる4けたの整数を1つ決めて太郎くんに見えないように紙に書いてふせます。それを当てようと太郎くんが4けたの数字をいいます。
数字もけたも合っていれば○、数字は合っていてもけたがちがっていれば△となります。
たとえば、博之くんが1234と整数を決めて、太郎くんが1354というと、○2つ△1つとなります。
次の文章を読んで問題に答えなさい。
太郎「9856でどう？」
博之「○が1つ△が1つだね。」
太郎「じゃあ6972では？」
博之「これも○が1つ△が1つだね。」
太郎「3058だとどう？」
博之「これも○が1つ△が1つだよ。」
太郎「4732では？」
博之「これは△2つだ。」
太郎「うーん、なかなか当たらない。8369はどう？」
博之「これも△2つだね。」
（問い1）ここまでの会話から博之くんの決めた数字として考えられるものを4通り答えなさい。
この後、博之くんは自分の決めた4けたの整数をはじめからかんちがいして答えていたことに気づきました。
博之「ごめん。数字をかんちがいしていた。」
太郎「え〜、そんな〜。」
博之「1けただけ数字をかんちがいしていたよ。さっき言った中で、4732に対する答えだけ変化するね。正しくはそこが○1つと△1つだったよ。」
太郎「ちょっと待ってね。・・・分かった！じゃあ博之くんが決めた整数は＿＿＿＿だね？」
博之「大正解！よくわかったね。」
（問い2）博之くんがはじめに考えて紙に書いていた4けたの整数を求めなさい。』
問い1は、例えば[結果の数字リスト]の中に[9, 8, 5, 6]からカブり無しで2つ、というような制約だけで、5と3と、2か7、6か9、の4つの数字であることは確定するみたいだ。
その後に、そのリストの中の位置の制約で、3058だとかを利用して、答えを弾き出すみたいだ。問い2も。
09年度トライアル問題 問題2
『1g〜6gのおもりが1つずつあり、それぞれのおもりには1g、2g、3g、4g、5g、6gと、それぞれの重さのラベルが、貼られています。いま、天びんに2通りの乗せかたをしたら、図1と図2のようになりましたが、このとき、ある2つのおもりのラベルが、入れ替わって貼られていることに気がつきました。
ラベルが入れ替わって貼られているおもりは何gと何gですか。
（図1）1g + 4g = 2g + 3g （図2）4g + 5g < 6g + 2g』
A = 1、B = 2、C = 3、D = 4、E = 5、F = 6。[A, B, C, D, E, F]のカブり無しから2つ選んで、その値を入れ替える。で、A + D = B + C、D + E < F + B。
この文字っていうのは、一つしか要素を持たない集合と考えてしまって良いのかな。入れ替えるっていうのが一見新しいけど、並列に移動を2回したと考えて良いんじゃないかと思った。記述法は今はまだ決めてないが、別に意味さえハッキリしていればそれで良い。
09年度トライアル問題 問題4
『図 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
図のような25個のマスに、1〜25の数字が1つずつ書かれたカードを使って、以下のルールで、ビンゴゲームを行います。
ルール①：1〜25の数字が1つずつ書かれたボールが箱の中に入っており、箱から取り出したボールの番号と同じ数字のマスを開く。
ルール②：たて、横、斜めのいずれかで開いているマスが5つ並べばビンゴ。
さて、必ずビンゴになるためには、最低何個のボールを箱から取り出せば良いでしょうか。』
かなり前にあったメーターの問題と似ていて、ビンゴにならないように最高何個取り出せるかの個数を出して、それプラス1すれば良い。
1をA、2をBとして、!(A and B and C and D and E)、否定の表記がこれで良いかはともかくとして、これを全ての行と列と斜めで作る。
[A, B, C,~~Y]からカブり無しでn個消す。上の条件。nが最小になるように設定する。
まあ細かい所はともかく、こういうイメージで解けるんじゃないか。
09年度トライアル問題 問題8
『（図） 循環リストで[ア, イ, ウ, エ, オ, カ, キ, ク]、アに3が入っている。
図のア〜クのマスに、1〜8までの数字を1つずつ入れます。（3はすでに入っています）
いま、となり合うマスに入っている数字の和が最大のものと、最小のものの差がもっとも小さくなるように数字を入れていきました。
アのマスの中に、3が入っているとすると、エのマスの中にはどの数字が入りますか。2通り答えなさい。』
[イ, ウ, エ, オ, カ, キ, ク]のカブり無しの中に[1, 2, 4, 5, 6, 7, 8]のカブり無しから全部挿入。[ア+イ, イ+ウ, ~ク+ア]の最大 - [ア+イ, イ+ウ, ~ク+ア]の最小 = n、のnが最小になるように命令。
軽くする方法としては、[ア+イ, イ+ウ, ~ク+ア]の合計値を考えるとア〜クを足し合わせたものの2倍で72。すると平均はちょうど9なので、最適値である和が9になる場合から考えていく。しかしア+イ=イ+ウだとア=ウになってしまう。そこで次に8と9と10の場合を考える。それで、1を起点に考えると、1通りに定まるらしい。
今回の感想
どれを取り上げてどれを取り上げるべきでは無いかが分からなくなりつつある。一番最初はともかく、それ以降は少しずつ新しい機能やヒントがあるだけに見える。答えを見てはじめて取り上げるべきだと分かるということもあって、今までのがこれで良かったか少し不安だ（図の問題だと思っていたら図の問題じゃなかったとかも）。とりあえずジュニア算数オリンピックが終わるまで通そうかな。持っているのが2013年度までのだから、あと5回ぐらいかな？とにかくそれから考えよう。
