ジュニア算数オリンピック 二次元上の面積を求める幾何の問題 「完全に格子」１

このページの問題を、基本的には上から解いていこうかと思っている。
　

99年度トライアル問題　問題4

『4つの同じ大きさの長方形で図のように大きな正方形をつくるとまん中にも小さな正方形ができます。大きな正方形の面積が49cm^2、まん中の小さな正方形の面積が16cm^2です。
長方形の短い辺の長さは何cmですか。

』

(a + b)^2 == 49
(a - b)^2 == 16

という式を立てるだけなんだが。

a + b == 7
a - b == 4

a + a == 11

a == 5.5

b == 1.5

で答えは1.5だろうか。
　

99年度トライアル問題　問題14

『たて11cm、よこ17cmの長方形の中に同じ形で同じ大きさの小さな長方形を4つ、A（図1）、B（図2）のように2通りの方法で入れました。斜めの線の部分の周囲の長さはAとBではどちらがどれだけ長いですか。

』

短い方の辺をx、長い方の辺をyとする。
すると、「(x * 2) * 2 + (11 - y) * 2」と「y * 2 + (11 - x * 2) * 2」ではどちらが大きいかを問うている。

左の式は展開すると、「x * 4 - y * 2 + 22」。右の式は、結果的に「- x * 4 + y * 2 + 22」になる。
整理すると、「x * 2 - y」と「- x * 2 + y」ではどちらが大きいかを問うている。

最初の図から条件を読み取ろうとするわけだが、「17 > x * 4」、「11 > y」、というのが読み取れるぐらいだろうか。
二番目の図からは、「17 == y + x * 2」（ちなみに「2 * x」の方が慣れ親しみがありそうだから次回からはそうする）、「11 > x * 2」、というのが読み取れるか。

17 > x * 4
11 > y
17 == y + x * 2
11 > x * 2

「17 > x * 4」は、「8.5 > x * 2」でもあるな。より制約が強いそちらを残そう。

8.5 > x * 2
11 > y
17 == y + x * 2

この手の問題は苦手だったからよく分からないけど、「6 < x * 2」というのが言えそうだな。「」。いやちょっと待てよ。

「17 > x * 4」と「17 == y + x * 2」で、「y + x * 2 > x * 4」が言えるじゃないか。とすると、「y > x * 2」が言える。
「x * 2 - y」と「- x * 2 + y」ではどちらが大きいかを問うているわけだから、yの方が大きいなら後者だな。

あ、いや違うな。問題を読み間違えていた。申し訳ない。（まあ本当の本当に自分の研究の実際を、いかにどうとでも転がり得たものだったかを黒歴史として残すために残しているだけだから、真面目に読む方が捉え方として間違えているのだと俺は思うけども。出来上がりはもっと分かりやすくなる、というより、俺の直接的な仕事がというよりデカルト座標のような残り方をしたら、俺としてはそりゃ最高の状態だわな。技法としての洗練は後からの人間が勝手にやる。俺の昔の言語研究と同じで、間違っていてもコンセプトさえ伝わればそれで良い、技法なのだから良い結果が出ればその結果が保証する。コンピューターと圏論の連結は、当たり前のものでありながらなぜか成されていないし、ユークリッド幾何のグラフによる自動解答をここまで論理的に持ってきているのはやっぱり自画自賛になるが凄いと思う、やろうとする所が偉い）

「(x * 4 - y * 2 + 22) + (- x * 4 + y * 2 + 22) == 44」と、図1の斜めである「(x * 4) * 2 + y * 2 + (17 - x * 4) * 2 + (11 - y) * 2」の比較なのか。
図1の方を展開したら、「x * 8 + y * 2 + 34 - x * 8 + 22 - y * 2 == 56」で、以上とか以下とか考えなくても図1の方だったか。
　

99年度ファイナル問題　問題5

『下の図は正方形ABCDの中に、面積が100cm^2の正方形の紙を3枚（あ）、（い）、（う）の順番に重ねておいたものです。
上から見えている部分の面積はそれぞれ、70cm^2、80cm^2、100cm^2です。（ア）、（イ）の面積をそれぞれ求めなさい。

』

同じようなアプローチで解けるんじゃなかろうか。

辺の長さは、横軸方向には5つに分けられるので、それぞれA、B、C、D、Eと名付ける。縦軸方向には3つに分けられるので、それぞれF、G、Hと名付ける。

そうすると、アは「A * F」。イは「E * F」。「B + C + D == 10」、「F + G == 10」。「A + B + C == 10」、「G + H == 10」。「C + D + E == 10」。「(B + C) * G == 20」。「C * 10 + D * G == 30」。
みたいな感じだろうか。

A == D
B == E
が言えるな。後者を前者に書き換えよう。

アは「A * F」
イは「B * F」
「B + C + A == 10」
「F + G == 10」
「A + B + C == 10」
「G + H == 10」
「C + A + B == 10」
「(B + C) * G == 20」
「C * 10 + A * G == 30」

整理してみる。

アは「A * F」
イは「B * F」
「A + B + C == 10」
「F + G == 10」
「G + H == 10」
「(B + C) * G == 20」
「C * 10 + A * G == 30」

F == H
が言えるな。後者を前者に書き換えよう。

アは「A * F」
イは「B * F」
「A + B + C == 10」
「F + G == 10」
「(B + C) * G == 20」
「C * 10 + A * G == 30」

あー、で見逃してたけど、CとGはイコールだな。

アは「A * F」
イは「B * F」
「A + B + C == 10」
「F + C == 10」
「(B + C) * C == 20」
「C * 10 + A * C == 30」。「(A + 10) * C == 30」。

「C * 10 + A * C == 30」を整理すると「(A + 10) * C == 30」。Cを明らかにしたいんで、「(B + C) * C == 20」を足してみようか。

「(A + 10 + B + C) * C == 50」。更に「A + B + C == 10」と合わせて、「20 * C == 50」。「C == 50 / 20 == 5 / 2」。

AとBとFが残っているわけだが、Aは、「(A + 10) * C == 30」から「A == 2」だと分かる。
Bは、「A + B + C == 10」から、「2 + B + 2.5 == 10」で、5.5だと分かる。
Fは、「F + C == 10」から、7.5だと分かる。

アは「A * F」なので「2 * 7.5 == 15」。イは「B * F」なので「5.5 * 7.5 == 41.25」らしい。本当かよと思ったら合ってた。
　

01年度トライアル問題　問題1

『下の図は1つの正方形を、形も大きさも同じ3つの長方形に分けたものです。1つの長方形の周りの長さが16cmのとき、正方形の周りの長さは何cmですか。

』

長方形の短い方の辺をa、長い方の辺をbとする。
2 * a + 2 * b == 16
3 * a == b

この二つから
2 * a + 2 * (3 * a) == 16

2 * a + 6 * a == 16

8 * a == 16

a == 2

b == 6

正方形の周りの長さは24だと分かる。

今回は全般的にこんな解き方で良いのかと思うけど、ユークリッド幾何学でも三角形の角からもう一方の辺に伸びている辺が垂線の時に、それらの掛け合わせ / 2になるだけで、やることは変わらないのでこれで良いのだと思う。