ニート歴10年からの数学日記

2008年〜2009年の高一の冬休みから無職。最長で4ヶ月ほどの中断アリ。

記述できなかった問題 その1 ジュニア算数オリンピック 三次元ユークリッド幾何

最後に記述できなかった問題を書き残しておく。


面と面でどこに交点というか交線ができるかが課題だろうが、ホッチキスの針みたいに辺の集まりのように考えれば良いんじゃないか。クラスタの出っ張っている部分は、そこまでは辺は無いものと考える。

おそらく完全に平行な場合と三角錘の場合の2通りがあり得るだろう。三角錘の場合は、どこか1点でも交点が分かれば、そこから頂点側の端点まで線を引いて、それから(1対1にならない気がしているけど)お互いの比率でお互いがその線に達していたら、そこには接点ができて、集まれば接線ができる。と考えることができるんじゃないか。

面と辺の交点は、分からない。
 

 

97年度トライアル問題 問題5

『立方体の各辺の半分の長さの点を結んで、各頂点から三角すいを切り落とすと、見取り図のような正三角形と正方形で囲まれた美しい立体図形、(アルキメデスの準正多面体)が出来上がります。
この図形の展開図は、図①、図②のようになります。


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(問い1)図①の展開図を組みたてたとき(A)の面と平行なのは、(B)の面です。では、(ア)の面と平行なのは、(イ)(ウ)(エ)(オ)(カ)(キ)(ク)のどの面ですか。

(問い2)図②の展開図を組みたてたとき、辺アイと平行な辺に線を引きなさい。(1つの辺が、2つに離れている場合は、両方に引きなさい。)』
 

97年度ファイナル問題 問題5

『たて、横、高さが、それぞれ1cmの小さい立方体27個使って、右の図のような大きい立方体を作りました。
この大きい立方体をA、B、Cの3つの点を通るような平面で切断したとき、次の問いに答えなさい。


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(問い1)大きい立方体の切断面はどんな形ですか。形の名前を書きなさい。
(問い2)この平面によって、小さい立方体は全部で何個切断されているでしょうか。

ただし下の図のように小さい立方体の頂点、辺、面が切断面とふれているだけのものは、切断されていないものとして考えなさい。


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03年度ファイナル問題 問題7

『右の図の立体ABCD-EFGHは直方体の箱で、たてが1m、横が1m、高さが2mです。この箱にまっすぐな棒を、一方の端が頂点Gに来るように置いたところ、もう一方の端は辺AEのちょうど真ん中の位置Iに来ました。
棒の太さは考えないものとして、次の問いに答えなさい。


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(問い1)
点Fに電球を置き点灯させます。このとき面AEHDと面DHGCにできる棒IGの影を解答用紙の図にかき入れなさい。
(問い2)
辺EFのちょうど真ん中の点Jに電球を置き点灯させます。このとき面AEHDと面DHGCにできる棒IGの影を解答用紙の図にかき入れなさい。』

 

09年度トライアル問題 問題11

『同じ大きさの小さな立方体27個で図1のような大きな立方体を作りました。
いま、細く長いまっすぐな針金を何本か使って、すべての小さな立方体をさします。
最低何本の針金が必要でしょうか。ただし、針金の太さは考えないものとします。


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12年度ファイナル問題 問題4

『4つの面に囲まれた立体のことを四面体といい、四面体のすべての辺が等しい立体のことを正四面体とよびます。正四面体ABCDの各頂点から対面に下ろした垂線4本は1点で交わることがわかっています。この点をHとし、Aから対面に下ろした垂線の足をEとすると、AH=EH×3となりました。
いま、一辺が1cmの正四面体ABCDの外側に1辺が1cmの4つの正四面体PBCD、QACD、RABC、SABCを配置するとき、4点P、Q、R、Sを結んでできる立体PQRSもまた正四面体となります。
正四面体PQRSの一辺の長さを求めなさい。
※ただし、図は正確とは限りません。


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ジュニア算数オリンピック 二次元上の面積を求める幾何の問題 「謎」

このページの問題を、基本的には上から解いていこうかと思っている。
 

 

02年度トライアル問題 問題9

『図1のような台形があります。上下にちょうど半分に折って図2のような台形にしたとき、両はしの重ならない白い部分の合計の面積が20cm^2でした。
つぎに白い部分を折って図3のように長方形にしたとき、この長方形の面積は図2の白い部分と斜線部分を合わせた台形全体の面積の5/6になりました。
もとの図1の台形の面積は何cm^2ですか。

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図3に左上から横優先でアルファベット順に点に名付けていって、文章の通りに等式を入れていって、折り曲げて重なった部分もイコールにする。

そうすると三角形2つが2\6になってそれが20cm^2、台形部分は4\6、上の台形もイコールで、全部で10/6。で答えは100cm^2。
 

07年度ファイナル問題 問題6

『右の図の六角形ABCIDEの周の長さは333cmです。角B、角C、角D、角Eはいずれも直角で、GF、GHはそれぞれBC、DEと垂直です。
BF、FC、DH、HEの長さがそれぞれ51cm、49cm、31cm、29cmのとき、折れ線FGHの長さを求めなさい。

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この問題は、問題があるというかつまり難点があって、これが解答になるわけだけど。


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この「普通」の問題で保留した2つの作図に似ていると言えば似ている。もし中点の作図が許されれば、問題は無いわけだけど。角の二等分という作図もあるわけだし、計算量的にもクラスタの作図とかがあるんで特に問題じゃないわけだけど、ただ必然性をあまり感じないというのが正直な所で。

GHを延長しても意味が無いだろうし、GIを延長して超遠回りすれば、果たして解けるのか?いや無理な気がするな。

人間の思考過程としては、まず解法の候補があって、そこから逆算して中点を作図しているんだろうけど。

この問題は保留かな。小学校までの問題が終わったら、保留した問題の一覧のページを作ることにしよう
 

13年度ファイナル問題 問題2

『図のように、2つの正三角形ABCとDEFを、BCとDFが並行になるように重ねるとき、次の各問いに答えなさい。

(1)2つの正三角形の一辺の長さが、9cm、10cmであるとき、できた図形の周囲の長さを求めなさい。

(2)2つの正三角形が重なった六角形の部分の辺の長さは、1cm、2cm、3cm、4cm、5cm、6cmです。(辺の長さの順番は、この順番とは限りません)
このとき、重ねた2つの正三角形の一辺の長さの組み合わせを2通り答えなさい。

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まずこれ、全部正三角形になる。Aの方の三角形も、下の角がBとかCと同位角で、だからまずAの方は正三角形。
それで、DとかFの方も対頂角で正三角形、以下も同じ。

で、DFとBCのどちらが9cmでどちらが10cmは、図形的にどちらでも良い。そうすると、DFにくっついている三角形の辺の長さの和は、正三角形なので例えば9*3で、BCの方は10*3になる。
答えは(9 + 10) * 2 == 38。これは初期条件とDFとBCを登録すれば普通に出るだろう。

問い2も、六角形のそれぞれの辺に適当に割り振って、矛盾しないものの種類を答えとして出力すれば良いと思うけど。
ただ計算量を減らそうと試みるなら、

A + F + C == C + E + B == B + D + A
D + A + F == F + C + E == E + B + D

という等式を立てることができて、つまり

2 * (A + B + C) + (D + E + F) == 3の倍数
(A + B + C) + 2 * (D + E + F) == 3の倍数

という風に考えることもできて、俺はどっちも3の倍数だったら123と456、あるいは135と246だなと考えたけど、で123を適当にノートに書いて、小さい組み合わせに大きい数字を割り振って成功したけど。
答え的には、(A + B + C) - (D + E + F) == 3の倍数、からどちらも3の倍数だと考えるみたいだ。
ノートに書いて辺の長さを調べて、答えは9と12、10と11。

ジュニア算数オリンピック 二次元上の面積を求める幾何の問題 「敷き詰め」

このページの問題を、基本的には上から解いていこうかと思っている。
 

 

99年度トライアル問題 問題7

『大きな正三角形を2つ重ねて星型の12角形を作り、その中に同じように小さな星型の12角形(図の斜めの線の部分)を作りました。大きな星型の12角形の面積が72cm^2のとき、小さな星型の12角形の面積は何cm^2ですか。

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解答を見ると、外側の三角6つと中の六角形は同じで、六角形の中も空白部分のピースで敷き詰める形で12角形を再現して、大きな星型72cm^2 \ 2 \ 2 == 18cm^2、という風に解答している。
ただ、俺が思うに一つだけ条件の指定が弱くて、正三角形同士の重なり方を変えれば、中の12角形は潰れていって面積も少なくなっていく。
その、例えば12角形の全ての辺がイコールで、中の12角形も同じで、という風に初期条件を登録できれば、解けると思う。
一つ一つの三角形は二等辺三角形でつまり正三角形で、中の正六角形も分割すると合同で、中の12角形も正三角形を重ねた形なので、という感じ。
 

99年度トライアル問題 問題8

『図1は正五角形を(ア)と(イ)の2つの部分に分けたもので、(ア)の面積は41cm^2、(イ)は11cm^2です。(イ)は台形です。
図2は図1の(イ)の部分と同じものを5枚つくり、図1の上に重ねたものです。図2の斜めの線の部分の面積の和は、まん中にできた小さな正五角形の面積より、何cm^2大きいですか。

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まず、「[[頂点, 辺, 頂点, 辺, 頂点, 辺, 頂点, 辺, 頂点, 辺], 真ん中]」、という風な循環リストを考える。それぞれの頂点だとか辺だとか真ん中だとかは変数だ。

そして、どこかの「頂点, 辺, 頂点」にそれぞれ1足すか引くか、どこかの「辺, 頂点, 辺, 頂点, 辺, 頂点, 辺」と「真ん中」にそれぞれ1足すか引くかして、前者であれば「答え」という変数に11足すか引くかして、後者であれば41足すか引くかする。そういう風にステップを定義する。

で、もちろん答えを見たのだけど、全ての変数の初期値を0にして、状態が「[[1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], -1]」の時に「答え」がどうなるかを問うている、と考えれば良いみたいだ。

問題を説明するための図2が同時にヒントにもなっていて、図2の状態から全体を引けば、そのまま答えになるらしい。

ジュニア算数オリンピック 二次元上の面積を求める幾何の問題 「円」

このページの問題を、基本的には上から解いていこうかと思っている。
 

 

98年度トライアル問題 問題5

『右の図で△ABC、△ODEは正三角形です。三角形ODEの面積が19cm^2のとき、三角形ABCの面積を求めなさい。(Oは円の中心です)

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初期段階で、円と外側の正三角形の接点にそれぞれOから辺を伸ばして、長さと角のイコールを登録すれば、三角関数で解けるだろう。
Oからの辺の長さは内側の正三角形の面積で出るし、その辺と辺を結べば間の角が120°で三角形が確定するし、二等辺三角形で外側の三角形も確定して、という感じ。
 

98年度ファイナル問題 問題4

『下の図のように1辺の長さが3cmの正方形ABCDがあり、頂点A、B、C、Dをそれぞれ中心とする半径3cmの円をかきました。斜線部分(正三角形4つと正方形1つ)の合計は何cm^2ですか。

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これも一つ前の問題と同じように、弦の長さや円の面積だとかを答えとして求められてないので、初期条件で同じ長さの辺を登録するだけで良いのかなと。辺の内側と外側に正三角形を作って、内側の頂点同士を結んで正方形を作る、という感じで。
解説を貼っておく。


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並行は何となくそうなんだろうなと思うけど、CQとPBが直角に交わるというのがよく分からなかった。
結構考えて分かったのだけど、正三角形の角は60°で、正方形の角は90°なので、角を3分割しているのが分かって、そこをきっかけに合同だとかで直角だと分かるのだなと、多分。
 

07年度トライアル問題 問題2

『同じ大きさの2つの正方形がぴったり重なっています(図1)。いま点Pを中心に片方の正方形を回転させたら図2のようになりました。
AB = 5cm BC = 13cm CA = 12cmのとき図2の2つの正方形の重なっている部分の面積を求めなさい。(図は正確とは限りません)

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この問題も同じように、回転させた後の図形も作図する。点Oからの辺も作図する。


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で、こういう感じでこの内側の辺の長さがイコールだと分かって、そうすると外側の下2つの三角形も合同だと分かって、後は連鎖的にどことどこがイコールなのかが分かっていくのだなと分かった。

ジュニア算数オリンピック 二次元上の面積を求める幾何の問題 「普通」

このページの問題を、基本的には上から解いていこうかと思っている。
 

 

今の段階は、足りない機能を見つけるコンピュータープログラムの要件定義みたいなもので、一つ一つ解いていくというよりはそれに集中したい。

問題の検討

97年度ファイナル問題 問題2

平行線にまたがる垂線は長さが同じ、というのが解答に必要になった。
その垂線と垂線を辺で繋げば、その共通する辺とそれを挟む角が同じになって、合同であることが証明されるわけだが。
5手の作図が必要になった。その垂線と垂線を繋ぐ辺は、別件でも必要になったので、どちらにせよ5手だと思う。

00年度トライアル問題 問題9

例えば長方形の隣り合う角から反対側の辺に、三角形を作るように2辺を引いたとして、他にできる2つの三角形とその三角形の面積は、イコールだと分からなければいけない。
後は、一つの点から伸びる二本の辺が、後から直線だと分かった時にどう処理するかも考える必要がある。
二等辺三角形じゃなくても垂線を下ろす作図が必要になっているので、素直に導入する。
この問題には6手必要だ。

01年度トライアル問題 問題2

一つ前の問題と同じ。長方形の1辺から3つの三角形が作られている。反対側の4つの三角形の面積の和とイコールだと分からないといけない。

01年度ファイナル問題 問題5

30°60°90°の三角形での辺の長さの比の知識を使っている。それならより一般的に、三角関数で解けば良いだろう。
しかし、答えを見て思ったけど、こんな問題解ける奴が本当にいるんだろうか。パズルゲームみたいに慣れの問題なんだろうけど、雑技団の訓練でも見ているような気分になる。

03年度ファイナル問題 問題4

同じ頂点を共有している場合、底辺比がそのまま面積比になる、という法則が必要になる。
それと、三角形の一辺の中点からの、頂点への辺の作図がある。この作図にどれくらい普遍性があるかは分からない。

04年度トライアル問題 問題5

問題無く解けると思う。

04年度ファイナル問題 問題2

同じく問題無く解けると思う。

05年度トライアル問題 問題8

同じく。作図自体は2ステップで解ける。いや、4ステップだったか。

06年度ファイナル問題 問題7

ひし形において、1辺の途中の点から反対側の辺へ、もう一対の平行な辺同士に平行になるように辺を引いて、相似で解いている。
どういう作図にすべきかは保留。

08年度トライアル問題 問題5

4ステップの作図で解ける。

08年度ファイナル問題 問題7

どうせ正三角形の半分という知識を使っているので、三角関数で普通に解けるだろう。

09年度ファイナル問題 問題4

問い2に、三角形の外に、直角になるように辺を延長するような作図がある。

09年度ファイナル問題 問題7

で、できるか!と思うが、理論上はあの形式で不可能では無い。

10年度トライアル問題 問題7

頂点が平行移動した場合は面積は同じ。

10年度ファイナル問題 問題4

何ステップなんだろうと思うぐらいにステップ数が多いが、理論上できないことは無い。
しかし、この三角形とかを組み合わせて正方形を作るのは定石の一つなのかもしれない。

11年度トライアル問題 問題9

問題無く解ける。

11年度ファイナル問題 問題4

この問題は俺には分からなくて、なぜ分からないのかを考えると、「3辺の長さが分かっている四角形で、その3辺の間の角は不明で、それ以外の2角は明らかになっている」時に、直感的には四角形は1通りに確定するが、なぜ確定するのかが分からない。

12年度トライアル問題 問題10

問題無く解ける。

13年度ファイナル問題 問題5

問題無く解ける。
一石二鳥というコンセプトを忘れてるような気もするけど。正四角形を作ろうという趣向が、(算数オリンピックにおいては?)方針として重要なのかもしれない。

まとめ

垂線を下ろす作図は導入する。
三角形の外に、直角になるように辺を延長する作図も、必要だろうから導入する。


「三角形の一辺の中点からの、頂点への辺の作図がある。この作図にどれくらい普遍性があるかは分からない。」

「ひし形において、1辺の途中の点から反対側の辺へ、もう一対の平行な辺同士に平行になるように辺を引いて、相似で解いている。
どういう作図にすべきかは保留。」

は保留する。

前者は、本質的には以下の図において、「y == B \ A * x」のyを、点がいっぱい属している辺に作って、点Bが繋がっている先に繋げるという作図だと思うのだけど。
これはもし実装するとしたら凄まじい計算量(作業量?)になるはずで、もちろん可能ではあるのだが、できれば避けたい。普遍化することで何とかならないだろうか。

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「3辺の長さが分かっている四角形で、その3辺の間の角は不明で、それ以外の2角は明らかになっている」場合に、なぜ確定するのかは考えたけど分からなかった。それはそれで、今までの処理の流れでは分からないということかもしれないわけだから、結構致命的な気がする。(いや、確定しないか?今回の問題は分かっている角がどちらも直角だったから、それで分かるのかもしれない。ネットで四角形の合同条件で調べたけど、とりあえず見つけたページには書いてなかったし。重要じゃないのかもしれない)


「一つの点から伸びる二本の辺が、後から直線だと分かった時にどう処理するかも考える必要がある。」については、別にgraphにおいては統合して、被ったりした時は削れば良いだけじゃないだろうか。clockwise_lstにおいても矛盾はしてないはずで、そんなに難しくは無いはず。


保留した2つの作図が課題なんで、このページはよく見返しに来るはず。特に前者の作図がまだ当てが付いていない。
後者は、他にそういう問題が出てきた時に、ひし形の例と共通するような、普遍的な作図を考えれば良い。
前者は、問題文を自分のために貼っておくことにする。

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ジュニア算数オリンピック 二次元上の面積を求める幾何の問題 「格子」

このページの問題を、基本的には上から解いていこうかと思っている。
 

 

97年度トライアル問題 問題2

『図のように、10本の長さも太さも同じ釘が打たれた板があります。釘と釘の間は、たても横も1cmずつ、はなれています。
この釘に輪ゴムをかけて、面積が2cm^2の三角形を作ります。考えられる輪ゴムのかけ方を、すべて書き出しなさい。
選ぶ釘が違えば、形が同じでも別の三角形とみなします。
(解答らんは12個用意しましたが、答えが12個とは限りません。1つの解答らんには答えとなる三角形を1つ書いてください。)

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人間の方法にこだわらなければ簡単で、3点のそれぞれxとyの差分で、ピタゴラスの定理で辺の長さを出していって、3辺の長さで三角形が確定するので、その面積が2cm^2かを確認すれば良い。それを全通りでやれば良い。


人間の方法にこだわるなら、一つの2cm^2の三角形をまず作って、「3点全てをxかyで同じ方向に1つ移動させる」か「別の2点のy\xの変化の割合で整数になる点に移動する」、の2種類のステップで、結果的に人間が想定するような基本的な形は網羅できるだろう。
result_listを作って、出た結果を格納していって、その中と被らない場合に再帰のような形でまたあり得る全ての手を検討する。それを続けて何もやることが無くなったら、それが結果なはずだ。
プログラムは書かない。最初の方法で良いと思うし。
 

00年度トライアル問題 問題4

『図のようにたて、よこそれぞれ1cmの等しい間かくで合計100個の点がならんでいます。この100個の点から4つの点を結んでできる面積が36cmの正方形は全部でいくつできますか。

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回転とかするのかなと思ったらそうでは無く、しかし、答えに16個と書いてあるけど、25個なんだよなあ。

いや…16個だった。

ジュニア算数オリンピック 二次元上の面積を求める幾何の問題 「完全に格子」2

このページの問題を、基本的には上から解いていこうかと思っている。
 

 

02年度トライアル問題 問題4

『下の長方形ABCDの周の長さは何cmですか。ただし、斜めの線の部分は正方形です。

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横軸を3つに分けて、1つ目をm、2つ目をx、3つ目をnとする。正方形という条件から縦軸もxとする。

それで式を立ててみると、
m + x == 12
x + n == 9

で求めたい答えが「2 * m + 2 * n + 4 * x」。上の二つの式を2つずつ足し合わせるとその数値になるので、12 + 12 + 9 + 9 == 42、で42が答え。
 

06年度トライアル問題 問題7

『図のように、4つの長方形ア、イ、ウ、エで作られた正方形EFGHがあります。
この4つの長方形の面積の和が38cmで、それらの対角線でできている四角形ABCDの面積が30cm^2であるとき、4つの長方形のまわりの長さの和を求めなさい。

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対角線ABの四角形から時計回りで、V、W、X、Yと名付けていき、まん中の四角形にはZと名付ける。

それで数式を立てると、
V + W + X + Y == 38
(V + W + X + Y) / 2 + Z == 30

上の式を下の式に入れると、
38 / 2 + Z == 30

19 + Z == 30

Z == 11
、となる。


全体の四角形は正方形なので、「√(V + W + X + Y + Z)」で一辺が出る。

√(38 + 11) == √49 == 7

その1辺が4辺分なので、7 * 4 == 28が正解なはずだ。


あー、ってボケてた。いや、実はその前にも一回直してるんだけど。
長方形4つの周りの長さか。

まあでも似たような話で、2倍にして56が正解だ。
 

10年度トライアル問題 問題1

『1辺10cmの正方形を図のように線を引いて12個の長方形に分けました。
このとき、12個の長方形のまわりの長さの和を求めなさい。

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まあ似たような話で、140だろう。
 

13年度トライアル問題 問題10

『次の図形がすべて長方形であるとき、あみ目の部分の面積を求めなさい。

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左上の長方形の細い辺をA、右下の長方形の細い辺をBとする。まん中の長方形の横辺をX、縦辺をYとする。

それで式を立てると、
A * (3 + X) == 29
6 * (A + Y) == 32
B * (6 + X) == 37
3 * (B + Y) == 16

で、X * Yを知りたいわけだ。
とりあえず2番目と4番目の式に着目しよう、左辺の全体に文字がかかってないから。

A + Y == 32 / 6
B + Y == 16 / 3

ちょうどYを引いてみたらAとBの関係が分かりそうだ。

A - B == 32 / 6 - 16 / 3

A - B == 0

A == B

随分分かりやすくなった。

A * (3 + X) == 29
A * (6 + X) == 37
3 * (A + Y) == 16

2つ目の式で1つ目の式を割ってみよう。

(3 + X) / (6 + X) == 29 / 37

3 + X == 29 / 37 * (6 + X)

3 + X == (29 * X + 174) / 37

X == (29 * X + 63) / 37

37 * X == 29 * X + 63

8 * X == 63

X == 63 / 8

いや見苦しくて申し訳ない。まあでも解けるのは分かった。